数学建模-优劣解距离法(TOPSIS)

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前言

优劣解距离法,又称逼近理想解法,是应用于评价类问题的解法,能够反应原始数据的信息.

在层次分析法(AHP)无法处理时,常用TOPSIS处理.

指标

指标类型

指标类型	描述
极大型指标	越大越好
极小型指标	越小越好
中间型指标	越接近某个值越好
区间型指标	在某个区间最好

矩阵的生成

Step1. 指标的统一

将所有指标统一为极大型指标的过程,称为指标正向化.

1. 极小型$\rightarrow$极大型

构造计算公式

$\tilde{x_i}$=$max-x_i$

若所有$x$均为正数,则可以用以下公式表示

$\tilde{x_i}$=$\frac{1}{x_i}$

2. 中间型$\rightarrow$极大型

首先找出每个$x_i$与最优值之间距离的最大值$M$

$M$=$max${$|x_i-x_{best}|$}

$\tilde{x_i}$=1-$\frac{\tilde{x_i}-x_{best}}{M}$

3.区间型$\rightarrow$极大型

假设$\{x_i\}$的最佳区间为$[a.b]$

$M$=$max$${a-min{x_i},max{x_i}-b}$

$$ \tilde{x_i}=\left{

\begin{aligned}

1-\frac{a-x}{M},x<a \

1,a\leq x\leq b \

1-\frac{x-b}{M},x>b

\end{aligned}

\right.

$$ ### Step2. 正向化矩阵标准化标准化的目的是消除不同指标采用不同量纲的影响在由$n$个评价对象,$m$个已正向化的指标构成的正向化矩阵中 $$ X= \begin{bmatrix} {x_{11}}&{x_{12}}&{\cdots}&{x_{1m}}\\ {x_{21}}&{x_{22}}&{\cdots}&{x_{2m}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {x_{n1}}&{x_{n2}}&{\cdots}&{x_{nm}}\\ \end{bmatrix} $$

经过标准化处理后的矩阵记为$Z$,那么$Z$的每个元素为

$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_{ij}}^2}}$

可以表示为z与最小值的距离/z与最大值的距离+z与最小值的距离

Step3. 归一化处理

不考虑权重

若不考虑各因素的权重,则可按如下方式处理

已经过标准化处理的矩阵为

$$ Z= \begin{bmatrix}

{z_{11}}&{z_{12}}&{\cdots}&{z_{1m}}\

{z_{21}}&{z_{22}}&{\cdots}&{z_{2m}}\

{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\

{z_{n1}}&{z_{n2}}&{\cdots}&{z_{nm}}\

\end{bmatrix}

$$ 这里求出每列的最大值和最小值,并分别记为行向量$Z^{+}$和$Z^{-}=(max\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},\cdots,max\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\})$ $Z^{+}=(min\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},\cdots,min\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\})$ 第$i(i=1,2,\cdots,n)$个评价对象与最大值距离$D^{+}=\sqrt{\sum_{i=1}^n(z_j^{+}-z_{ij})^2}$ $D^{-}=\sqrt{\sum_{i=1}^n(z_j^{-}-z_{ij})^2}$ 第$i(i=1,2,\cdots,n)$个评价对象最终结果为 $S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$ $(0\leq S_i\leq 1)$ 可见,$S_i$越大,$D_i^{-}$越小,越接近最大值. #### 考虑权重若考虑各因素的权重,可以通过[层次分析法(AHP)](https://bebebe.be/archives/23/)计算权重,并按如下处理第$i(i=1,2,\cdots,n)$个评价对象与最大值距离$D^{+}=\sqrt{\sum_{i=1}^n\omega_i(z_j^{+}-z_{ij})^2}$ $D^{-}=\sqrt{\sum_{i=1}^n\omega_i(z_j^{-}-z_{ij})^2}$ 当然,最后还需要检验所有权重之和是否唯一 $\sum_{j=1}^m\omega_j=1$