数学建模-层次分析法(AHP) | Steven Lynn’s Blog

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前言

层次分析法通过建立评价标准，通过不同程度的指标表示重要程度，通过比较来推算权重，最终完成决策

层次结构

分析因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构

在这里插入图片描述

目标层 Objective

准则层 Criterion

方案层 Plan

重要程度指标

不同因素两两相比时，通过1-9来表示不同重要程度，数值越大比较者比被比较者更重要

标度	含义
1	两个因素同样重要
3	一个因素比另一个因素稍重要
5	一个因素比另一个因素明显重要
7	一个因素比另一个因素强烈重要
9	一个因素比另一个因素极端重要
2,4,6,8	中值
倒数	被比较者与比较者的关系

判断矩阵

判断矩阵的生成

由目标层与决策层可以生成以下表格，对应矩阵称为判断矩阵O-C

$O$	$C_1$	$C_2$	$C_3$
$C_1$	ㅤ	ㅤ	ㅤ
$C_2$	ㅤ	ㅤ	ㅤ
$C_3$	ㅤ	ㅤ	ㅤ

由决策层与方案层可以生成以下表格，对应矩阵称为判断矩阵C-p

$C_1$	$P_1$	$P_2$	$P_3$
$P_1$	ㅤ	ㅤ	ㅤ
$P_2$	ㅤ	ㅤ	ㅤ
$P_3$	ㅤ	ㅤ	ㅤ

不一致现象

出现类似因素A比B好，A和C一样好，B比C好的描述时，会出现矛盾

会导致矩阵出现不一致现象

当矩阵一致时，所生成的矩阵是一致矩阵

一致矩阵的性质

1. 特点

各行(列)之间成倍数关系，对角线两边互为倒数

2. 充要条件

$a_{ij}$>0

$a_{11}$=$a_{22}$=$a_{nin}$

[$a_{i1}$,$a_{i2}$$\cdots$$a_{n}$]=$k_i$[$a_{11}$,$a_{12}$$\cdots$$a_{1n}$]

一致性检验

引理

$n$阶正互反矩阵A为一致矩阵时，最大特征值$\lambda_{max}$=$n$

$n$阶正互反矩阵A为非一致矩阵时，最大特征值$\lambda_{max}$>$n$

一致性检验

一致性指标 $CI$=$\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}$

查找平均随机一致性指标$RI$平均随机一致性指标

计算一致性比例$CR$=$\frac{CR}{RI}$

$CR$<0.1时，一致性可接受，否则需要矩阵修正

计算权重

用以下这个矩阵为例

$O$	$C_1$	$C_2$	$C_3$
$C_1$	1	2	4
$C_2$	1/2	1	2
$C_3$	1/4	1/2	1

1. 归一化

即某列元素/所在列的和

以第一列为例

$C_1$权重=$\frac{1}{1+1/2+1/4}$

$C_2$权重=$\frac{1/2}{1+1/2+1/4}$

$C_3$权重=$\frac{1/4}{1+1/2+1/4}$

接着再分别求得另外两列权重的数据

2. 权重求平均

算术平均

将所得权重的矩阵按行求和

除以n得到算术平均值

设判断矩阵$A$=$$\begin{bmatrix}

{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\

{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\

{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\

{a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\

\end{bmatrix}$$，则算术平均法求得权重向量$\omega_i$=$\frac{1}{n}$$\sum_{j=1}^n$$\frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^na_{kj}}$ ($i$=1,2,$\cdots$$n$)

几何平均

将判断矩阵$A$的元素按行相乘得到新的列向量

将该列向量归一化处理得到权重向量

设判断矩阵$A$=$$\begin{bmatrix}

{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\

{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\

{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\

{a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\

\end{bmatrix}$$，则几何平均法求得权重向量$\omega_i$=$\frac{(\prod_{j=1}^na_{ij})^\frac{1}{n}}{\sum_{k=1}^n(\prod_{j=1}^na_{kj})^\frac{1}{n}}$ ($i$=1,2,$\cdots$$n$)

特征值

求出矩阵$A$最大特征值以及对应特征向量

对特征向量归一化得到权重

方法局限性

评价的决策层或方案层不能过多($n$<15)

决策层与方案层数据已知时不可用